Los términos semejantes son las expresiones más amigables y salvavidas que podrás encontrarte en el maravilloso mundo matemático del álgebra, puesto que te permitirán hallar iluminación en donde antes había una ilusoria complejidad.
El álgebra se encuentra poblado por una (casi) infinitud de expresiones y símbolos que tienden a comportarse de forma indiferente con la mente del matemático, obstaculizando la resolución de problemas mediante complicaciones aparentes, a modo de espejismos. Sin embargo, los términos semejantes estarán (probablemente) allí para conducirte a simplificaciones, demostrando, de esta forma, la belleza matemática propia del álgebra.
Conocer y asimilar a estos términos algebraicos es uno de los pasos elementales para llegar a dominar al álgebra, ya que podrás manejar polinomios de diferentes clases; imponiendo orden a expresiones caóticas y aleatorias. Te invito a seguir leyendo para puedas conocer el poder de esta sencilla herramienta algebraica para reducir polinomios (y ecuaciones).
¿Qué son los términos semejantes?
Muy bien, esta de seguro debe ser la principal pregunta que se ha cruzado por tu mente, además de otras relacionadas con la igualdad algebraica.
En palabras sencillas, los términos semejantes; sin llegar a hondar demasiada en el álgebra rigurosa, son aquellos que guardan un parecido entre sí, una cierta igualdad. Sin embargo, esta igualdad es relativa.
Para ilustrar mejor este punto, vamos a imaginar a los términos semejantes como si fueran los integrantes de una familia (polinomio); ignorando el rol jerárquico y social de cada integrante. Veamos, cada integrante de una familia es un individuo único, que genéticamente comparte ciertos rasgos con otros, con sus parientes. A pesar de esto, cada integrante externamente se puede llegar a diferenciar de sus parientes, sin importar las semejanzas entre unos y otros.
De esta misma forma, la semejanza es considerada en el álgebra, por supuesto, no completamente o de forma literal. Con todo esto dicho, fíjate en la siguiente imagen:
¿Qué respuestas le darías a la imagen? Si aún no te resulta evidente, te definiré la clave para entender a los así llamados términos semejantes. En el álgebra, la semejanza entre términos algebraicos se da cuando estos tienen la misma parte literal (o variable), es decir, la misma letra elevada al mismo exponente.
Por lo tanto, la respuesta a la pregunta de la imagen es positiva, ya que aunque veas números (coeficientes) diferentes, 2 y 5, respectivamente, esto tienen una parte literal igual, esta es, a. De esta forma, la parte literal de los monomios es como el código genético de cada familia, o sea, de cada polinomio.
Ejemplos para saber identificar términos semejantes en un polinomio
Sabemos que un ejemplo es insuficiente para aclarar el tópico de la semejanza de términos algebraicos, por ello, para reforzar la idea y despejar cualquier duda restante, te traemos los siguientes ejemplos:
En el primer ejemplo podemos ver que el componente algebraico igual en ambos monomios es la variable x2, por lo que son términos semejantes. En el segundo ejemplo, vemos que hay un monomio negativo, sin embargo, este hecho no afecta a la parte literal ya que el signo pertenece al coeficiente -3. Así, se puede concluir que existe semejanza entre estos monomios ya que comparten un mismo producto de variables: cy4.
Ahora, con respecto al último ejemplo, podemos ver que los exponentes de las variables de los 2 monomios no son completamente iguales, ya que a uno tiene como exponente una sumatoria de variables, mientras que el otro una única variable. Por lo que, estos términos algebraicos no son semejantes.
Qué hacer con los términos semejantes
El álgebra está llena de trucos, pero no en el sentido de la magia y de la prestidigitación; nada de fantasía y engaño. La razón y la lógica, en este caso, son las encargadas de sorprender a las mentes ajenas a esta rama matemática, mediante simples operaciones que ahorran mucho trabajo matemático y le agregan belleza artística a esta rama.
Observa detenidamente a la imagen de arriba. Después de haber determinado que ambos monomios son términos semejantes, ¿te parecería sensato y correcto tratar de sumarlos o, incluso, restarlos? ¿Por qué no hacerlo, verdad? Si son equivalentes de alguna forma algebraica, aritméticamente debe de ser posible sumarlos.
Este tipo de dilemas se pueden presentar en polinomios, extendiendo innecesariamente la expresión matemática, quitándole belleza a la misma. Por razones como estas, pero especialmente, por razones prácticas, es preciso llegar a reducir expresiones extensas, y para hacer esto, tenemos a un nuestra preciada álgebra.
La respuesta a cada una de las 3 preguntas anteriores es positiva, como probablemente pudiste haber pensado, pero ¿por qué es posible sumar o restar términos semejantes, en realidad? Muy bien, aquí interviene otra herramienta de mucha utilidad en el álgebra y es el factor común. Sigue leyendo porque se acerca el meollo del asunto.
Una simplificación algebraica
Antes de iniciar la explicación, construyamos un polinomio con el binomio mostrado en la imagen anterior. Para efectos explicativos, el ejemplo que tomaremos será este:
Observa detalladamente al polinomio, ¿cuántos términos semejantes hay? Además del ya mencionado binomio 2a + 5a, tenemos otro, la pareja de las c, es decir, -3c + 6c. Perfecto, hemos detectado las semejanzas en el polinomio, por lo que podemos simplificar tranquilamente, obteniendo el siguiente resultado:
Pero, retrocediendo a nuestra inquietud previa: ¿Por qué esto es posible, matemáticamente hablando? En lo que se refiere a las matemáticas, para toda operación hay una razón, si no fuera por esto, no habría matemáticas ni existiría el mundo moderno tal como lo conocemos. Previamente, te comentamos que esto se da gracias a los factores comunes, y es que los anteriores términos algebraicos además de ser semejantes, son comunes, de cierta forma.
Para asimilar la idea de factores comunes debes entender que cada monomio es, básicamente, un producto de factores (ya sea un coeficiente o una letra). Los binomios seleccionados son inherentemente combinaciones de 2 monomios, los cuales son términos semejantes por compartir la misma letra. Esta letra compartida es el factor común, por ello es posible realizar los siguientes operaciones:
De esta forma, el factor común permite aislar a la parte literal de la sumatoria de monomios, haciendo que aritméticamente sea posible sumar a los coeficientes. Es importante, aclarar que esto también es posible hacer esto con los coeficientes, sin embargo, la semejanza algebraica se centra únicamente en la parte literal.
Ejercicios propuestos para resolver simplificaciones en polinomios
Como punto final te traemos una serie de polinomios para que efectúes simplificaciones de términos semejantes, y así puedas agilizar la mente. E incluso, puedas inspirarte para crear tus propios ejercicios, a manera de reto personal y para retar a tus compañeros de clases y/o amigos.
Los polinomios son los siguientes:
