Reducción de términos semejantes

La reducción de términos semejantes, en el álgebra, es uno de los trucos más fáciles de aprender debido a la sencillez aritmética con la cual se encuentra relacionada. Además, hay que destacar que es una de las herramientas matemáticas más poderosas del álgebra para condensar expresiones y anular la complejidad aparente de polinomios y ecuaciones extensas.

Los términos semejantes son algunos de los objetos algebraicos más curiosos, ya que estos surgen, invariablemente, de las operaciones más básicas, haciendo bastante notable la posibilidad reductora reducción de términos algebraicos que brindan a las ecuaciones, principalmente.

A continuación te explicaremos, de forma completa, todo lo relacionado con la técnica de reducción de términos semejantes, así que, sigue leyendo.

¿A qué se les llama términos semejantes?

Las simplificaciones son muy importantes en las matemáticas, y la mayor parte de estas simplificaciones son de naturaleza algebraica, por lo que de cierta forma el álgebra es arte de la simplificación matemática. Por ello, no es de extrañar que existan términos algebraicos con características peculiares, que facilitan el desarrollo de las deseadas simplificaciones.

Una de las características peculiares de los términos algebraicos es la semejanza. Esta semejanza puede ser interpretada de diferentes formas para aclarar el panorama, con metáforas o cualquier otra herramienta imaginativa, debido a que matemáticamente se respeta el significado literal.

Así como algunas especies animales son semejantes, por ejemplo, los gatos y los leones, porque comparten una historia evolutiva, que en algún momento sufrió una ruptura biológica generando la diferenciación de especies. Casi de esta misma forma, los términos algebraicos pueden presentar semejanza, pero para esto deben compartir un elemento sumamente abstracto.

¿Cuál es el elemento abstracto que comparten? Pues, son llamados términos semejantes aquellos monomios que tienen una misma parte literal. Específicamente, la semejanza se da cuando estos términos comparten la misma letra o producto de ellas, elevadas con exponentes iguales.

Ejemplos de términos semejantes

No hay mejor manera de acabar con las dudas en las matemáticas que con ejemplos. Por ello, para zanjar el asunto de la identificación de términos semejantes, te traemos los siguientes ejemplos de términos algebraicos:

$3x y 4x$
$-a^{2}b^{2} y 5a^{2}b^{2}$
$4cx^{z-1} y 4cx^{z}$

Para nuestro primer ejemplo podemos ver que la parte literal “x” se repite en ambos monomios, por lo que, son términos semejantes, a pesar de poseer diferentes coeficientes. Ahora, con el segundo ejemplo, volvemos a comprobar que, efectivamente, los términos algebraicos tienen una misma parte literal, dada por el producto de a y b elevados al cuadrado, por lo que son semejantes.

Y, en cuanto al tercer ejemplo, si observamos bien, estos términos tienen igual signo, coeficiente, y la base de la parte literal es idéntica, pero difieren considerablemente en el exponente, por ello, no son términos semejantes.

¿En qué consiste la reducción de términos semejantes?

Como ya hemos explicado el aspecto más básico de la matemática del artículo, es momento de pasar a lo central. Y, es que lo que te ha traído aquí es la posibilidad de aprender el álgebra de la reducción de términos semejantes.

Obviamente, debes de preguntarte qué es la reducción de términos semejantes y cuál es su utilidad. En primer lugar, esta reducción es una técnica u operación algebraica que resulta de las relaciones aritméticas entre los términos semejantes, permitiendo convertir dos o más términos en una sola expresión, es decir, en un monomio.

Gracias a esta técnica es posible simplificar relativamente extensos polinomios (y ecuaciones), por medio de la eliminación de términos redundantes por semejanza, logrando una única expresión algebraica.

En álgebra se han identificado principalmente 3 casos de reducción de términos semejantes, a continuación se te serán expuestos, acompañados, por supuesto, con sus respectivos ejemplos.

1° Caso: Reducción de dos o más términos iguales del mismo signo

Por regla general, se enuncia que: los coeficientes serán sumados, colocándose primeramente el signo que comparten todos los términos, y por último, se escribirá la parte literal.

Observemos esta regla en acción con los siguientes ejemplos de términos algebraicos:

$5c^{3}+14c^{3}=19c^{3}$
$-32xy^{2}-77xy^{2}=-109xy^{2}$
$\frac{d}{2}+\frac{2d}{3}+\frac{3d}{4}+\frac{4d}{5}=\frac{163d}{60}$

Así de sencillo como se muestra es este caso de reducción de términos semejantes. Básicamente, todo se reduce a una cuestión de aritmética en cada uno de los ejemplos; una suma de coeficientes.

2°Caso: Reducción de dos términos iguales de distinto signo

Para este caso de reducción de términos semejantes lidiaremos con una diferencia de términos semejantes, es decir, una resta, por lo que debemos cuidar la regla elemental de los signos. Al hacer la resta entre coeficientes, la cantidad resultante poseerá el signo del coeficiente mayor. Estos serán elementos algebraicos a ubicar por delante de la parte literal.

Veamos esto mejor con los siguientes ejemplos:

$38x-12x=26x$
$-123a^{3}z^{2}+99a^{3}z^{2}=-24a^{3}z^{2}$
$\frac{5ab}{6}-\frac{8ab}{9}=\frac{-ab}{18}$

3°Caso: Reducción de más de dos términos iguales de signos distintos

Para este caso, tenemos que considerar lo siguiente: aplicando el primer caso, reducir a los términos positivos en una sola expresión, y así mismo, a los negativos. Luego, aplicando el segundo caso, reducir ambas expresiones resultantes para obtener el monomio definitivo.

Como siempre, a continuación te mostraremos, para fortalecer el enunciado, algunos ejemplos de términos algebraicos:

$67b-98b-44b+102b$

Reducción de los positivos: $67b+102b=169b$

Reducción de los negativos: $-98b-44b=-142b$

Reducción final: $169b-142b=27b$

$-\frac{4ay}{3}+\frac{ay}{2}-\frac{6ay}{5}-\frac{7ay}{4}+\frac{3ay}{7}+ay$

Reducción de los positivos:

$\frac{ay}{2}+\frac{3ay}{7}+ay=\frac{27ay}{14}$

Reducción de los negativos:

$-\frac{4ay}{3}-\frac{6ay}{5}-\frac{7ay}{4}=-\frac{257ay}{60}[\latex] Reducción final: [latex]\frac{27ay}{14}-\frac{257ay}{60}=-\frac{989ay}{420}$

Generalización: Reducción de un polinomio que contenga términos semejantes de diversas clases

Si unificamos todas las reglas de los casos anteriores seremos capaces de llevar a cabo la reducción de términos semejantes en cualquier combinación de expresiones, como lo son los polinomios y las ecuaciones algebraicas.

En esta generalización lo importante es separar a los términos semejantes según la parte literal, es decir, en clases, luego, solo es cuestión de aplicar las reglas de los 3 casos.

La generalización de los casos es como una píldora que engloba todo el artículo, por ello, observa y analiza el siguiente par de ejemplos:

$3x+77y+65z+91x-22y+87z$

Reducción por clase:

$3x+91x=94x$

$77y-22y=55y$

$65z+87z=152z$

Resultando: $94x+55y+152z$

$4a^{2}x^{4}+14dy^{3}-11bz-23-19a^{2}x^{4}+88dy^{3}+102bz+94$

Reducción por clase:

$4a^{2}x^{4}-19a^{2}x^{4}=-15a^{2}x^{4}$

$14dy^{3}+88dy^{3}=102dy^{3}$

$-11bz+102bz=91bz$

$-23+94=71$

Reducción final: $-15a^{2}x^{4}+102dy^{3}+91bz+71$

Ejercicios propuestos

Para finalizar el artículo, te dejamos algunos polinomios para que apliques las reglas de reducción de términos semejantes, y así, puedas afianzar los conocimientos matemáticos.

$2t-4m+8n-5t-m+9n$
$-a+3b+6c-d+55+33a-77b+34c-23d-89-34a+67b+24c-49d+100$
$0,67ax^{2}+0,99by+cz^{3}-89ax^{2}+2,5by-7,8cz^{3}+88ax^{2}-3,6by+9,9cz^{3}$
$\frac{3c^{n+1}}{25}+\frac{7d^{m+3}}{50}-\frac{3c^{n+1}}{5}-\frac{d^{m+3}}{33}+0,45c^{n+1}-\frac{d^{m+3}}{4}$